晓查 发自 凹非寺
量子位 报道 | "大众,"号 QbitAI
计算机法度榜样又为数学家建功了。
比来，来自美国、加拿大年夜、瑞士的4位数学家，用C++和MATLAB法度榜样解出了一个 6元105项方程的59组特别解。
求解完这个方程，也就证清楚明了 “有理四面体”（rational tetrahedra）总共只有59个“特别”外形和2个系列，从而解决了一个44年的数学难题。
而提出这一难题的，恰是客岁因新冠而去世的有名数学家 约翰?康威（John Conway）。
△59个“有理四面体”零丁解（图片来自：QuantaMagazine）
1976年，康威给出了求解该问题的方程。1995年，两位数学家找到了个中59组特别解，然则他们不肯定有没有漏掉。
△有理四面体具有两组“持续”解和59组零丁解
得益于计算机硬件的成长，如今只用MacBook Pro和几台至强CPU电脑，在几天内就完成了对所有解的搜刮。
成果证实，那两位数学家在20多年前其实已经获得了完全的谜底。
什么是有理四面体？
四面体，顾名思义，就是四个三角形围成的立体图形。
四面体每两个面之间都构成一个二面角。四面体有6条棱，是以有6个二面角。
△四面体中有6个二面角（图片来自Poonen手稿）
有理四面体是指四面体中的6个二面角都是有理数角度（与180°角的比值是有理数）。
就似乎三角形的内角和公式数学公式: a+b+c=180°一样，四面体的6个二面角之间也有一种关系，只不过这种关系要复杂得多。
定义θij为四面体第i个面与第j个面的夹角（显然θ ij =θ ji ），那么这6个二面角之间的关系可以行列式表示为：
因为是有理四面体，所以 θij =Qπ（弧度），Q是有理数。
我们把行列式展开后，会获得一个包含17项的方程，并且方程中还有余弦函数，求解难度很大年夜。
然则数学家们想到了一个奇妙的化简办法。
欧拉公式
接下来，数学家们用到了“最美数学公式”?? 欧拉公式??来简化方程。
欧拉公式将复数（实数+虚数）的指数函数与三角函数接洽起来：
i是虚数，即-1的平方根。假如用图像的方法懂得欧拉公式，那就是：
很显然，无论θ值若何变更，e iθ 到0点的距离必定是1。
所以假如我们定义复数：
那么这个复数必定是在以原点为圆心，半径为1的圆上。
△方程z 5 =1的5个解都在单位圆上
如今，方程里的三角函数可以用复数来替代了：
如许，上面的行列式从一个三角函数方程变成了一个多项式方程：
但问题也随之而来，这个方程总共有 105项，并且是一个 6元方程！不过好消息是，我们知道这6个未知数都在那个半径为1的圆上（称作 “单位根”）。
奇妙的是，复数z ij 与x轴的夹角θ ij 正好就是四面体的二面角，是以这些解不仅在圆上，与x轴夹角也必须是π弧度的有理数倍。
1995年，在那个没有机能强劲PC的年代，来自UC伯克利的 Poonen和滑铁卢大年夜学的 Rubinstein经由过程插入六个有理数的组合，来猜测这个方程的解，他们总共找到了59组。
如许做带来一个问题是： 可以找到解，然则不克不及包管把所有解一网打尽。
一次有时的碰撞
问题一弃置就是20多年，直到客岁3月，Poonen参加了一次讲座。
在那一次的讲座上，研究数论的数学家Kedlaya介绍了本身的工作：搜刮了不合多项式方程的单位根。
这不就和寻找“有理二面体”的问题等价吗？
Poonen很快就给Kedlaya发邮件，解释本身的来意：你们研究的“恰是我在1990年代须要的器械”。
收到邮件后，Kedlaya与另一位研究单位根的数学家Kolpakov取得了接洽。另一边，Poonen也接洽上了他昔时的的老错误Rubinstein。
△联手解决“有理四面体”的四位数学家
四人敏捷组团，开端着手工作。
即便如今的计算机机能比拟20多年前晋升巨大年夜，但想要找到一个6元105向方程的所有有理数解，照样弗成能想象的。
必须要把搜刮范围进一步缩小。
起首，他们 “化整为零”。
在新论文中他们证清楚明了，这个105项的复杂多项式方程可以用多个更简单的多项式表示，把这个6元方程转化成了数百个简单方程的集合。
寻找这些较简单方程的单位根，比原方程的搜刮范围小得多。并且因为简单的方程与复杂的方程之间的对应关系，找到一个方程的根，能赞助找到另一个方程的根。
搜刮上限的问题解决了，但搜刮的距离照样太小，搜刮空间依然很宏大年夜，工作无法持续。
然后，他们的第二步是，应用 对称性进一步紧缩搜刮空间。
他们知道方程的解具有必定的对称性，假如在区间的一部分上有解，那么在区间的另一部分上也必须有解。
如许一来，他们就可以开辟出新算法，应用这种对称性构造来更有效地进行搜刮。
经由几个月的尽力，他们完成了义务的分化。除去编程，全部搜刮只占用了几颗酷睿与至强处理器数小时的时光。
计算机终于找到了所有特别解，真的只有59个！（别的还有两组“持续”解。）
如今，他们的算法已经颁布在GitHub上。
2020年11月，四个数学家把论文宣布到arXiv上，44年后终于用计算机的办法完成了康威的欲望。
也算是告慰了康威的在天之灵，他们在论文首页上写着：“In memory of John H. Conway”。
后续
解决这个问题后，Poonen本人亲自撰写了一篇科普文章，还和西蒙斯基金会结合录制了一段科普视频。
Poonen列c出了三个重要的四面体问题，最早的要追溯到2300多年前 亚里士多德的疑问： 什么样的四面体能堆满全部空间？
1900年，数学家 大年夜卫?希尔伯特给出了另一个疑问： 什么样的四面体可以经由有限次的切割重组为一个等体积的立方体？
至于第三个问题，就是方才解决的有理二面体问题。而前两个问题，人们如今还不知道谜底。
假如非要问这个有理二面体有什么实际价值，Poonen给出了一个有趣的案例：
假设我们要在一个星球上建造N个城市，让这N个城市每两个之间的距离都是有理数，那么我们应若何筹划？
（注：指城市之间的球面距离与赤道周长的比值是有理数。）
△如安在星球上建造两两距离皆为有理数的城市（图片来自Poonen手稿）
因为有理四面体问题的解决，如今这个问题有两个筹划：
一个是让赤道上平均分布几个城市，再把剩下两座城市放在南极北极。
而假如想让城市在星球上分布得更平均一点，也就是上图右边的办法，那么N不克不及跨越30，不然无解。
? 完?
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